NCERT कक्षा 6 गणित अध्याय 2: संपूर्ण संख्या प्राकृतिक संख्या

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प्रशन?

1. क्या विभाजन पूर्ण संख्याओं पर बंद है?

2. गुणात्मक पहचान क्या है?

3. इसके अतिरिक्त गुणन की गुणात्मक संपत्ति क्या है?

4. इसके अलावा गुणा पर वितरित कर सकते हैं?

प्राकृतिक संख्या: पूर्ववर्ती और उत्तराधिकारी

Illustration 1 for प्राकृतिक_संख्या_पूर्ववर्ती_और_ …
  • 1 को छोड़कर सभी-प्राकृतिक संख्याओं में पूर्ववर्ती और उत्तराधिकारी के रूप में एक प्राकृतिक संख्या होती है।
  • उत्तराधिकारी पाने के लिए हम 1. जोड़ते हैं। हम अगला उत्तराधिकारी पाने के लिए 1 जोड़ सकते हैं और फिर अगला। इस प्रकार, प्राकृतिक संख्याएं बहुत, बहुत बड़ी हो सकती हैं- इस बात का कोई अंत नहीं है कि वे कितनी बड़ी संख्या प्राप्त कर सकती हैं!
  • पूर्ववर्ती प्राप्त करने के लिए हम प्राकृतिक संख्या से 1 घटाते हैं। 1 के लिए हमारे पास एक उत्तराधिकारी है लेकिन कोई पूर्ववर्ती (प्राकृतिक संख्या में) नहीं है।
  • संख्याओं के इस सेट को 1 से शुरू करना और 1 को जोड़कर चलना प्राकृतिक संख्याओं का समूह कहलाता है

नंबर 0 का उपयोग

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संख्या रेखा पर प्रत्येक संख्या इकाई दूरी है- 1 इंच 1 सेमी कुछ भी, लेकिन यह समान होना चाहिए।

संख्या रेखा पर संचालन

Illustration 1 for संख्या_रेखा_पर_संचालन
  • संख्या रेखा खींचना
  • संख्या रेखा पर अंतर (अंतर)
  • संख्या रेखा पर संबंध से अधिक
  • संख्या रेखा पर जोड़
  • संख्या रेखा पर घटाव
  • संख्या रेखा पर गुणन - गुणन केवल बार-बार जोड़ा जाता है

संख्या शून्य

Illustration 1 for संख्या_रेखा_पर_संचालन
  • आर्यभट्ट ने शून्य का आविष्कार किया जिसका अर्थ है कि उन्होंने सोचा कि शून्य की तरह कुछ संख्या मौजूद है और एक व्यक्ति दस के प्रतीक के रूप में दस का प्रतिनिधित्व कर सकता है और इकाई अंक के रूप में शून्य का प्रतीक। यह पहली बार बख्शाली पांडुलिपि में जोड़ा गया था और फिर इसे अन्य लिपिस में जोड़ा गया था।
  • ब्रह्मगुप्त भी शून्य के आविष्कार के लिए कुछ श्रेय के हकदार हैं। ब्रह्मगुप्त नाम के एक हिंदू खगोलशास्त्री और गणितज्ञ ने शून्य के लिए एक प्रतीक विकसित किया - एक डॉट संख्या के नीचे। उन्होंने शून्य का उपयोग करके गणितीय संचालन भी विकसित किया, इसके अलावा और घटाव के माध्यम से शून्य तक पहुंचने के लिए नियम लिखे, और समीकरणों में शून्य का उपयोग करने के परिणाम।

संख्याओं के समूह / संग्रह

संपूर्ण संख्याएँ = प्राकृतिक संख्याएँ + 0

Illustration 1 for संख्याओं_के_समूह________संग्रह
  • संख्या रेखा खींचना
  • संख्या रेखा पर अंतर (अंतर)
  • संख्या रेखा पर संबंध से अधिक
  • संख्या रेखा पर जोड़
  • संख्या रेखा पर घटाव
  • संख्या रेखा पर गुणन - गुणन केवल बार-बार जोड़ा जाता है

समस्या

  • शून्य सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है।
  • 400 399 का पूर्ववर्ती है।
  • शून्य सबसे छोटी पूरी संख्या है।
  • 600 599 का उत्तराधिकारी है।
  • सभी प्राकृतिक संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ हैं।
  • सभी पूरी संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
  • दो अंकों की संख्या का पूर्ववर्ती कभी भी एक अंकों की संख्या नहीं होती है।
  • 1 सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।
  • प्राकृतिक संख्या 1 का कोई पूर्ववर्ती नहीं है।
  • पूरे नंबर 1 का कोई पूर्ववर्ती नहीं है।
  • पूरी संख्या 13 11 और 12 के बीच है।
  • पूरी संख्या 0 में कोई पूर्ववर्ती नहीं है।
  • दो अंकों की संख्या का उत्तराधिकारी हमेशा दो अंकों की संख्या होता है।

संख्या रेखा पर संचालन

  • जब आप एक संख्या रेखा खींचते हैं तो 2 संख्या के बीच की दूरी इकाई दूरी- 1 इंच, 1 सेमी आदि होती है।
  • संख्या रेखा पर 2 संख्याओं के बीच की दूरी उनके अंतर के बराबर है।

संपूर्ण संख्याओं पर जोड़ की बंद संपत्ति

किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं का योग एक पूर्ण संख्या है यानी संपूर्ण संख्याओं का संग्रह इसके अतिरिक्त बंद है। इस संपत्ति को संपूर्ण संख्याओं के अलावा क्लोजर प्रॉपर्टी के रूप में जाना जाता है।

संपूर्ण संख्याओं पर गुणन की बंद संपत्ति

चूंकि गुणन को दोहराया जाता है इसलिए पूरे संख्याओं की प्रणाली को गुणा के तहत भी बंद कर दिया जाता है।

संपूर्ण संख्याओं पर गुणन और जोड़ की बंद संपत्ति

  • किन्हीं दो पूर्ण संख्याओं का योग एक पूर्ण संख्या है यानी संपूर्ण संख्याओं का संग्रह इसके अतिरिक्त बंद है। इस संपत्ति को संपूर्ण संख्याओं के अलावा क्लोजर प्रॉपर्टी के रूप में जाना जाता है।
  • चूंकि गुणन को दोहराया जाता है इसलिए पूरे संख्याओं की प्रणाली को गुणा के तहत भी बंद कर दिया जाता है।

क्या घटाव पूर्ण संख्याओं पर बंद है?

बार-बार घटाव के रूप में विभाजन

मान लें कि हम 12 को 3 से विभाजित करना चाहते हैं। इस प्रकार, हम 12 से शुरू करते हैं और जितना हो सके उतने थ्रेड को घटाना शुरू करते हैं।

क्या डिवीजन पूरे नंबरों पर बंद है?

  • पूरी संख्या का विभाजन भिन्न उत्पादन कर सकता है
  • शून्य द्वारा विभाजन को परिभाषित नहीं किया गया है।

जोड़ने योग्य पहचान

Illustration 1 for जोड़ने_योग्य_पहचान

गुणक पहचान

Illustration 1 for जोड़ने_योग्य_पहचान

शून्य का गुणन गुण

Illustration 1 for शून्य_का_गुणन_गुण

श्रीधर आचार्य ने 8 वीं शताब्दी में भारत में शून्य के संचालन का आविष्कार किया था। उन्होंने स्पष्ट रूप से शून्य के गुणों का उल्लेख किया। “यदि शून्य को किसी संख्या में जोड़ा जाता है, तो योग एक ही संख्या है; यदि शून्य को किसी संख्या से घटाया जाता है, तो संख्या अपरिवर्तित रहती है; यदि शून्य को किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उत्पाद शून्य है” ।

समस्या?

  • यदि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल शून्य है, तो क्या हम कह सकते हैं कि उनमें से एक या दोनों शून्य होंगे?
  • यदि दो पूर्ण संख्याओं का गुणनफल 1 है, तो क्या हम कह सकते हैं कि उनमें से एक या दोनों 1 होंगे?

संपूर्ण संख्याओं के जोड़ की कम्यूटेटिविटी

Illustration 1 for संपूर्ण_संख्याओं_के_जोड़_की_कम्यूटेटिविटी
  • जब हम 2 + 3 करते हैं तो यह 3 + 2 के समान होता है। इसी प्रकार, हम कह सकते हैं कि 15 + (7 + 5) या 15 + (5 + 7) समान हैं। इसे कम्यूटिटी के रूप में जाना जाता है।
  • अब सहानुभूति अलग है- अगर मैं (१५ + 5) + ५ या १५ + (different + ५) करता हूं - तो मैं अब different अलग-अलग सहयोगी हूं। अब मैंने आदेश को बदलने के बजाय वास्तविक परिवर्धन- संख्याएँ (ऑपरेंड्स) बदल दिए हैं जो कि + चिन्ह के दोनों ओर हैं।

संपूर्ण संख्याओं के जोड़ की संबद्धता

Illustration 1 for संपूर्ण_संख्याओं_के_जोड़_की_संबद्धता
  • जब हम 2 + 3 करते हैं तो यह 3 + 2 के समान होता है। इसी प्रकार, हम कह सकते हैं कि 15 + (7 + 5) या 15 + (5 + 7) समान हैं। इसे कम्यूटिटी के रूप में जाना जाता है।
  • अब सहानुभूति अलग है- अगर मैं (१५ + 5) + ५ या १५ + (different + ५) करता हूं - तो मैं अब different अलग-अलग सहयोगी हूं। अब मैंने आदेश को बदलने के बजाय वास्तविक परिवर्धन- संख्याएँ (ऑपरेंड्स) बदल दिए हैं जो कि + चिन्ह के दोनों ओर हैं।
  • ऐसे ऑपरेशन होते हैं जो कम्यूटेटिव हो सकते हैं, लेकिन एसोसिएटिव नहीं होते हैं और ऐसे ऑपरेशन होते हैं जो एसोसिएटिव होते हैं लेकिन कम्यूटेटिव (मैट्रिक्स गुणन) नहीं होते हैं

पंक्ति × कॉलम और टेप के रूप में गुणा

Illustration 1 for पंक्ति________कॉलम_और_टेप_के_रूप_में_गुणा
  • जब हम 2 + 3 करते हैं तो यह 3 + 2 के समान होता है। इसी प्रकार, हम कह सकते हैं कि 15 + (7 + 5) या 15 + (5 + 7) समान हैं। इसे कम्यूटिटी के रूप में जाना जाता है।
  • अब सहानुभूति अलग है- अगर मैं (१५ + 5) + ५ या १५ + (different + ५) करता हूं - तो मैं अब different अलग-अलग सहयोगी हूं। अब मैंने आदेश को बदलने के बजाय वास्तविक परिवर्धन- संख्याएँ (ऑपरेंड्स) बदल दिए हैं जो कि + चिन्ह के दोनों ओर हैं।

संपूर्ण संख्याओं के गुणन का कम्यूटेशन

Illustration 1 for संपूर्ण_संख्याओं_के_गुणन_का_कम्यूटेशन

जब हम 3 x 2 करते हैं, तो यह 2 x 3 के समान होता है।

संपूर्ण संख्याओं के गुणन की संबद्धता

Illustration 1 for संपूर्ण_संख्याओं_के_गुणन_की_संबद्धता

जब हम 2 x (3 x 4) करते हैं, या हम करते हैं (2 x 3) x 4

संपूर्ण संख्याओं का घटाव क्या है?

Illustration 1 for संपूर्ण_संख्याओं_का_घटाव_क्या_है
  • जब हम 2 + 3 करते हैं तो यह 3 + 2 के समान होता है। इसी प्रकार, हम कह सकते हैं कि 15 + (7 + 5) या 15 + (5 + 7) समान हैं। इसे कम्यूटिटी के रूप में जाना जाता है।
  • अब सहानुभूति अलग है- अगर मैं (१५ + 5) + ५ या १५ + (different + ५) करता हूं - तो मैं अब different अलग-अलग सहयोगी हूं। अब मैंने आदेश को बदलने के बजाय वास्तविक परिवर्धन- संख्याएँ (ऑपरेंड्स) बदल दिए हैं जो कि + चिन्ह के दोनों ओर हैं।

क्या पूरे संख्याओं का जोड़ घटाव है?

Illustration 1 for क्या_पूरे_संख्याओं_का_जोड़_घटाव_है

आज्ञा देना 4- (2 - 1) = 3, और (4 - 2) -1 = 1

संपूर्ण संख्याओं का विभाजन कम्यूटेटिव नहीं है

4/2 2/4 के समान नहीं है

संपूर्ण संख्याओं का विभाजन सहयोगी नहीं है

12 / (4/2) = 6 और (12/4) / 2 = 3/2

जुड़ाव और गुणन की संबद्धता और कम्यूटेशन का अनुप्रयोग

  • 14 + 17 + 6
  • 12 × 35
  • 6 × 3 × 5
  • 8 × 1769 × 125
  • 37
  • 420
  • 90
  • 1769000

जोड़ पर गुणन की वितरण

Illustration 1 for जोड़_पर_गुणन_की_वितरण

जोड़ पर गुणन की वितरण

Illustration 1 for जोड़_पर_गुणन_की_वितरण
  • 12 + 6 + 10 = 28
  • 2 (3 + 5 (2 + 4) ) = 66

घटाव पर गुणन वितरित करता है?

Illustration 1 for घटाव_पर_गुणन_वितरित_करता_है

सामान्य गुणा में वितरण कानून

Illustration 1 for सामान्य_गुणा_में_वितरण_कानून

435 (100 + 30 + 6) = 43500 + 13050 + 2610 = 59160

59160

वितरण संबंधी कानून प्रश्न

1. एक परिवार दोपहर के भोजन के लिए 100 रुपये और प्रत्येक दिन दूध के लिए 4 रुपये खर्च करता है। एक सप्ताह में वे कितना पैसा खर्च करेंगे?

उत्तर- 728

मान पाते हैं

3845 × 5 × 782 + 769 × 25 × 218

824 × 21

769 ⚹ 5 = 3845

3845 ⚹ 5 (782 + 218) = 3845 ⚹ 5 ⚹ 1000 = 19225 ⚹ 1000 = 19225000

824 × 21 = 824 ⚹ 20 + 824 = 17304

संख्याओं में पैटर्न: त्रिकोणीय संख्याएँ

Illustration 1 for संख्याओं_में_पैटर्न_त्रिकोणीय_संख्याएँ
  • त्रिकोण समबाहु हैं
  • वे एक प्रकार की आलंकारिक संख्या हैं- अन्य उदाहरण चौकोर और घन संख्या हैं

नंबरों में पैटर्न: स्क्वायर नंबर

Illustration 1 for नंबरों_में_पैटर्न_स्क्वायर_नंबर

769 ⚹ 5 = 3845

3845 ⚹ 5 (782 + 218) = 3845 ⚹ 5 ⚹ 1000 = 19225 ⚹ 1000 = 19225000

त्रिकोणीय और वर्ग संख्याओं के बीच संबंध

Illustration 1 for त्रिकोणीय_और_वर्ग_संख्याओं_के_बीच_संबंध

1, 3, 6, 10,15, 21

पैटर्न्स

  1. 1 × 9 + 1 = 10
  2. 12 × 9 + 2 = 110
  3. 123 × 9 + 3 = 1110
  4. 1234 × 9 + 4 = 11110
  5. 12345 × 9 + 5 = 111110
  6. पैटर्न जब हम 9 - 99, 108,117, 126 से गुणा करते हैं,
  7. 11 = 121,132, 143 की तालिका में पैटर्न।
  8. 11 x 11 = 121,111x111 = 12321,1111 x 1111 = 1234321 का पैटर्न

पैटर्न्स

  1. 1 × 9 + 1 = 10
  2. 12 × 9 + 2 = 110
  3. 123 × 9 + 3 = 1110
  4. 1234 × 9 + 4 = 11110
  5. 12345 × 9 + 5 = 111110
  6. 1 × 8 + 1 = 9
  7. 12 × 8 + 2 = 98
  8. 123 × 8 + 3 = 987
  9. 1234 × 8 + 4 = 9876
  10. 12345 × 8 + 5 = 98765

824 × 25

10 को पूरा करके अतिरिक्त

23 + 64 + 27 = 64 + 50 = 114

25 + 66 + 28 = 25 + 66 + 24 + 4 = 25 + 90 + 4 = 29 + 90 = 119

0 के उत्पादन से गुणा

824 × 25 = 206 ⚹ 4 ⚹ 25 20600

84 × 99 = 84 (100 - 1) = 8400 – 84 = 8316

84 × 98 = 84 (100 - 2) = 8400 – 168 = 8232

96 × 125 = 12 x 8 x 125 = 12 x 1000 = 12000

64 × 35 = 32 x 2 x 5 x 7 = 224 x 10 = 2240

अधिक उन्नत विषय

1. वर्ग त्रिकोणीय संख्या

2. बियॉन्ड 0- निगेटिव इंटेगर

3. अनंत की अवधारणा

4. वास्तविक संख्या

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