NCERT कक्षा 6 गणित अध्याय 3: संख्याओं के साथ खेलना संख्याओं को तोड़ना

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प्रशन?

1. क्या 5 का 5 या उसके कारक का गुणक है?

2. अंकगणित के मूल सिद्धांत की व्याख्या कीजिए?

3. क्या आप किसी संख्या के सभी कारक ज्ञात कर सकते हैं? इसके गुणकों के बारे में क्या?

4. क्या बड़ी संख्या में अधिक कारक हैं?

अवलोकन

  • कारक
  • फैक्टर ट्री और गुण
  • कारक गुण
  • प्रधान कारण
  • बिल्कुल सही संख्या
  • अंकगणित के मौलिक सिद्धांत
  • गुणक और गुण
  • सामान्य तथ्य
  • सामान्य गुणक
  • नकल संख्या
  • HCF और LCM और शब्द समस्याएं
  • प्राइम और कम्पोजिट नंबर
    • एराटोस्थनीज की छलनी
    • विशेष प्राइम नंबर
  • प्रभागीय परीक्षण
    • अंकों को देखें
    • अंकों का योग
    • अंतिम संख्या
    • युग्म
    • प्रभागीय परीक्षणों का उपयोग

संख्याओं को तोड़ना?

Breaking Numbers
Breaking Numbers
Breaking Numbers
Breaking Numbers

जोड़ द्वारा संख्याओं को तोड़ना

Breaking Numbers Add

हम केवल 1 की सही संख्या जोड़कर कोई भी संख्या बना सकते हैं

गुणन द्वारा संख्याओं को तोड़ना

Breaking Numbers Mul

गुणन द्वारा हम संख्याओं को तोड़ भी सकते हैं- घटक कारकों के रूप में जाने जाते हैं। मूल संख्या को इसके कारकों का गुणक कहा जाता है।

पंक्ति X स्तंभ में व्यवस्था करना

Arranging Numbers
  • यह एक साधारण कारक पेड़ द्वारा दर्शाया गया है।
  • शीर्ष पर हमारे पास रूट संख्या है जो हम संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त करते हैं और अंतिम स्तर पर हमारे पास पत्ते हैं।
Arranging Numbers

यह पेड़ के रूप में व्यक्त संख्या 6 का एक और प्रतिनिधित्व है।

Arranging Numbers
Arranging Numbers

संख्या 6 के कारक

Factors of 6
  • 6 को कई तरीकों से 2 नंबर के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। 6 का गठन करने वाली विभिन्न संख्याओं को कारक कहा जाता है। संख्या को उसके कारकों में विभाजित करने की प्रक्रिया को कारककरण कहा जाता है
  • पत्ती के स्तर पर हमारे पास संख्या 6 के कारक हैं। कारक संख्याएं हैं जो किसी दिए गए संख्या को समान रूप से विभाजित कर सकती हैं।
  • 6 इसके सभी कारकों में से एक है (यह इन सभी नंबरों की तालिका में दिखाई देता है)
  • 12 के लिए हमारे पास कई कारक हैं 3, 4, 1,12, 6 आदि। 12 इसके सभी कारकों में से कई है।
  • एक ही समय में 12 के गुणकों में 12,24, 36 और इसी तरह … शामिल हैं।

कारक वृक्ष

Factor Tree
  • कारक वृक्ष मूल संख्या को कारकों में विभाजित करता है।
  • किसी भी स्तर पर सभी नंबरों का उत्पाद हमें रूट नंबर 24 देता है।
  • संख्या के 2 प्रकार हैं- अभाज्य और अभाज्य।
  • लाल बॉक्स 24 के प्रमुख कारकों को दिखाते हैं। नीले रंग के बक्से 24 नंबर के गैर-प्रमुख कारकों को दिखाते हैं।

गुण: प्रत्येक उपप्रकार पूर्ण कारक वृक्ष है

Factor Tree

प्रत्येक उपप्रकार अपने आप में पूर्ण कारक वृक्ष है

गुण: नोड्स रूट के कारक हैं

Root

उप-संख्या में संख्या के नीचे की सभी संख्याएं मूल के कारक हैं- सभी कारक नहीं बल्कि केवल कुछ।

गुण: विशिष्टता, पूर्णता और पत्तियां

Uniqueness, Completeness

यहां संख्या 24 के कुछ संभावित कारक पेड़ हैं।

1. एक कारक वृक्ष अद्वितीय नहीं है

2. कारक वृक्ष 24 के सभी कारकों को नहीं दिखाता है।

3. उदाहरण के लिए, 6 केवल पहले पेड़ में, दूसरे में 12 और तीसरे में 8 दिखाई देते हैं।

4. अद्वितीय क्या है संख्या 24 के प्रमुख कारक- पत्तों के नोड्स में गुलाबी बक्से में सूचीबद्ध हैं- इन प्रमुख कारकों तक पहुंचने का मार्ग अलग है।

फैक्टर ट्री के गुण: सारांश

Properties Summary
Properties Summary

यहां संख्या 24 के कुछ संभावित कारक पेड़ हैं।

1. प्रत्येक स्तर पर उत्पाद रूट संख्या देता है

2. एक कारक वृक्ष अद्वितीय नहीं है

3. कारक वृक्ष 24 के सभी कारकों को नहीं दिखाता है - उदाहरण के लिए 6 केवल पहले पेड़ में दिखता है, दूसरे में 12 और तीसरे में 8।

4. अद्वितीय क्या है संख्या 24 के प्रमुख कारक- पत्तों के नोड्स में गुलाबी बक्से में सूचीबद्ध हैं- इन प्रमुख कारकों तक पहुंचने का मार्ग अलग है।

कारक गुण

Properties Factors
Properties Factors
Properties Factors

कारक और प्रधान कारक

Prime Factors
  • 84 के सभी कारकों और प्रमुख कारकों का पता लगाएं।
  • मुख्य कारक - 2,2, 3,7 (इसमें 1 और संख्या शामिल न करें, जब तक कि यह प्रधान न हो)
  • संख्या को उसके प्रमुख कारकों में विभाजित करने की प्रक्रिया को प्रधान कारक कहा जाता है

सभी कारक- विभिन्न तरीकों से प्रमुख कारकों को मिलाते हैं

  • 1
  • 2,2, 3,7
  • 4, 6,14, 21
  • 12,42, 28
  • 84

बिल्कुल सही संख्या

Perfect Numbers

28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56) परिपूर्ण है

14 (1 + 2 + 7 + 14 = 24 ⧵ < ⧵ 28) की कमी है

12 (1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 ⧵ > ⧵ 24) प्रचुर मात्रा में है

सामान्य गुणकों से लेकर एलसीएम, एलसीएम और शब्द समस्याओं की गणना

आम कारकों से एचसीएफ तक, एचसीएफ और वर्ड समस्याओं की गणना

प्राइम फैक्टर्स यूनिक हैं

Unique

फैक्टर ट्री से हम समझते हैं कि हालांकि फैक्टर ट्री अद्वितीय नहीं है, यह हमेशा एक नंबर के सभी प्रमुख कारकों को सूचीबद्ध करता है।

अंकगणित के मौलिक सिद्धांत

  • 1 से अधिक प्रत्येक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या है या इसे प्रमुख संख्याओं के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है
  • एक अभाज्य संख्या में केवल दो कारक होते हैं: १ और स्वयं। एक मिश्रित संख्या में दो से अधिक कारक होते हैं। संख्या 1 न तो प्रधान है और न ही समग्र - क्योंकि इसमें केवल एक कारक है (1)
  • प्रमुख कारक और उनकी गिनती एक अद्वितीय हस्ताक्षर प्रदान करती है
  • 1200 = 24 × 31 × 52
  • उदाहरण के लिए, 1200 को primes के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, और दूसरा, यह कि यह कैसे किया जाता है, कोई फर्क नहीं पड़ता, उत्पाद में हमेशा चार 2s, एक 3,2 5s, और कोई अन्य primes नहीं होगा।
  • जिन कारकों के लिए प्रमुख होना आवश्यक है, वे आवश्यक हैं: समग्र संख्याओं वाले कारक अद्वितीय नहीं हो सकते (उदाहरण के लिए, 24 = 8 × 3 = 12 × 2) ।
  • यह प्रमेय मुख्य कारणों में से एक है कि 1 को एक प्रमुख संख्या क्यों नहीं माना जाता है: यदि 1 अभाज्य थे, तो primes में गुणनखंड अद्वितीय नहीं होगा; उदाहरण के लिए, 2 = 2 × 1 = 2 × 1 × 1 = …
  • प्राकृतिक संख्याओं की योगात्मक संरचना बहुत सरल है बस अगला नंबर प्राप्त करने के लिए 1 जोड़ें। गुणक संरचना प्रधानों द्वारा शासित होती है।

मल्टीपल्स

Multiples

गुणक पेड़ के ऊपर पाए जाते हैं

Multiples
  • पेड़ का कोई भी मार्ग संख्या के गुणकों से बना होता है।
  • हम माता-पिता, फिर दादा-दादी आदि के पास जाते हैं, वे सभी अपने बच्चों और पोते-पोतियों के गुणक होते हैं।

गुणकों के गुण

Multiples Properties
Multiples Properties

आम कारक और एचसीएफ

Factors and HCF

ये केवल 84 और 42 के कुछ सामान्य कारक हैं।

सभी कारकों को सूचीबद्ध करने की अधिक संभावनाएं हैं:

84: 1, 2, 2, 3, 7, 4, 6, 14, 12, 21, 42,28, 84

24: 1, 2, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24

  • 84 और 42 के केवल एक सामान्य कारक हैं।
  • अब इन 2 संख्याओं- 2,3 और 2 के मुख्य कारकों पर विचार करें। केवल ये 3 प्रधान कारक 84 और 24 दोनों में पाए जाते हैं (अंकगणित के मूल सिद्धांत) । इसका मतलब है 2 x 3 x 2 = 12 सबसे बड़ी संख्या है जो 84 और 24 दोनों संख्याओं को विभाजित कर सकती है। इसे HCF या उच्चतम सामान्य कारक के रूप में जाना जाता है।
  • इसमें एचसीएफ शब्द सबसे अधिक है, लेकिन संख्याओं में से प्रत्येक के बराबर या उससे छोटा है। यह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई संख्याओं को समान रूप से विभाजित कर सकती है।

नकल संख्या

Coprime Numbers
  • कुछ संख्याएँ यद्यपि वे अभाज्य नहीं हैं लेकिन उनके कोई सामान्य कारक नहीं हैं- उन्हें सह-अपराध के रूप में जाना जाता है।
  • यह उनकी LCM हमेशा 1 है।
  • ध्यान दें कि प्राइम नंबर हमेशा सह-प्राइम होते हैं।

सामान्य गुणक

Common Multiples
  • जब हम गुणकों को देखते हैं, तो वे केवल संख्याओं की सारणी होते हैं। आइए 2 - 9 और 12 लें।
  • सामान्य गुणक तब तक पहुँच जाते हैं जब 12 आगे 3 गुणक और 9 आगे 4 गुणक से आगे बढ़ते हैं।
  • पहले सामान्य गुणक 36 हैं और उसके बाद 36 के सभी गुणक 12 और 9 दोनों के लिए सामान्य हैं।
  • किसी भी संख्या के अंतहीन सामान्य गुणक हैं
  • संख्या 36 बहुत महत्वपूर्ण है यह 12 और 9- के बीच सबसे छोटी आम बहु है जिसे एलसीएम का सबसे कम बहु गुणक कहा जाता है
  • एलसीएम में शब्द सबसे कम होता है, लेकिन प्रत्येक संख्या के बराबर या उससे बड़ा होता है। यह सबसे छोटी संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है
  • ध्यान दें कि अभाज्य संख्याओं का LCM केवल संख्याओं का गुणनफल है

उच्चतम आम कारक की गणना

  • सभी नंबरों को एक बार कारकों को शामिल करें।
  • एक कारक को कई बार शामिल करें- यदि यह सभी संख्याओं में कई बार दिखाई देता है।

126: 2,3, 3,7; 6, 9,14, 21; 18,42, 63; 126

252: 2, 2,3, 3,7; 4, 6, 9,14, 21; 12, 18, 28,42, 63; 84,126

315: 3,3, 7,5; 9, 15,21, 35; 45,63, 105; 315

126: 2,3, 3,7

252: 2, 2,3, 3,7

315: 3,3, 7,5

Calculating Highest Common Factor
126252315
34284105
3142835

HCF = 9

इसमें एचसीएफ शब्द सबसे अधिक है, लेकिन संख्याओं में से प्रत्येक के बराबर या उससे छोटा है। यह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई संख्याओं को समान रूप से विभाजित कर सकती है।

एचसीएफ के गुण

  • सभी नंबरों (HCF) का एक कारक है।
  • HCF सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई संख्याओं (GCD) को विभाजित कर सकती है।
  • दी गई संख्या (6,12) की तुलना में छोटा या बराबर।
  • कोप्राइम (प्राइम सहित) संख्याओं के लिए 1 के बराबर।

एचसीएफ पर शब्द समस्याएं

Word Problems
  • सबसे बड़े पैमाने पर खोज करें जिसका उपयोग करके हम इन दीवारों की लंबाई को माप सकते हैं।
  • बेशक, लंबाई 1 का पैमाना काम करेगा।
  • 2 भी काम करेगा।
  • यह विचार सरल है कि हम संख्याओं के HCF के रूप में लंबे समय तक जा सकते हैं क्योंकि यह सबसे बड़ी संख्या है जो दोनों दीवारों की लंबाई को समान रूप से विभाजित करेगी।
  • 8 जैसी बड़ी संख्या 12 और 18 दोनों को विभाजित नहीं करेगी।
  • एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 825 सेमी, 675 सेमी और 450 सेमी है। सबसे लंबे टेप का पता लगाएं, जो कमरे के तीन आयामों को बिल्कुल माप सकता है।
Word Problems on HCF
5825675450
516513590
3332718
1192

HCF = 5 ⚹ 5 ⚹ 3 = 75

कम से कम एकाधिक की गणना

Least Common Multiple
  • कम से कम दो संख्याओं के लिए केवल एक बार कारकों को शामिल करें।
  • अब उन सभी नंबरों के कारकों को शामिल करें जिन्हें अभी तक शामिल नहीं किया गया है।
  • यदि आवश्यक हो तो कारकों को कई बार शामिल करें।
  • 42: 2,3, 7
  • 105: 5,3, 7
  • 245: 5,7, 7
Calculating Least Common Multiple
42105245
5422149
7637
3217
  • हम यहां LCM 5 x 7 x 3 x 2 x 7 = 1470 को रोकते हैं
  • केवल एक बार सामान्य कारकों को शामिल करें- लेकिन उन सभी कारकों को शामिल करें जो कम से कम एक कारक में दिखाई देते हैं।
  • दो बार दोहराया कारकों को शामिल करें
  • इस प्रकार, हम 2 x 3 x 7 x 5 x 7 प्राप्त करते हैं

एलसीएम के गुण

  • सभी नंबरों से सबसे छोटी संख्या विभाज्य है।
  • दी गई संख्या (6,12) से अधिक या बराबर।
  • कॉप्रेम (प्राइम सहित) संख्याओं के उत्पाद के बराबर।

एलसीएम पर शब्द समस्याएं

LCM
  • LCM का अर्थ है सबसे कम आम बहु लंबाई 6 और 8 सेमी के 2 पैमानों पर विचार करें।
  • दीवार की न्यूनतम लंबाई का पता लगाएं जो हमें तराजू का उपयोग करके समान रूप से लंबाई को मापने की अनुमति देगा।
  • LCM का अर्थ है सबसे कम आम बहु लंबाई 6 और 8 सेमी के 2 पैमानों पर विचार करें।
  • दीवार की न्यूनतम लंबाई का पता लगाएं जो हमें तराजू का उपयोग करके समान रूप से लंबाई को मापने की अनुमति देगा।
  • एलसीएम = 2 ⚹ 3 ⚹ 3 = 18
  • इसलिए 18 समान रूप से 6 और 9 दोनों से विभाजित किया जाएगा और इसलिए दीवार की लंबाई की आवश्यकता होगी।
  • सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या निर्धारित करें जो 6,8 और 12 से बिल्कुल विभाज्य है।
  • सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या निर्धारित करें जो 6,8 और 12 से बिल्कुल विभाज्य है।
  • LCM = 6,8, 12 = 24.24 के गुणक सभी तीनों संख्याओं, 24, 48, 72,96, 120 से विभाज्य होंगे। सबसे छोटी 3 अंक संख्या इस प्रकार 120 है।
  • कम से कम संख्या का पता लगाएं, जब 6,15 और 18 से विभाजित करें तो प्रत्येक मामले में 5 शेष हैं।
  • कम से कम संख्या का पता लगाएं, जब 6,15 और 18 से विभाजित करें तो प्रत्येक मामले में 5 शेष हैं।
  • 6,15, 18 का LCM 90 है। 90 शेष संख्या के साथ तीनों संख्याओं से सबसे छोटी संख्या विभाज्य है। इस प्रकार 91 संख्याओं में से प्रत्येक में विभाजित होने पर 1 शेष बचेगी और 95 प्रत्येक 5 को शेष देगा।
  • 3 लड़के एक ही जगह से एक साथ निकलते हैं। उनके कदम क्रमशः 63 सेमी, 70 सेमी और 77 सेमी मापते हैं। न्यूनतम दूरी ज्ञात करें ताकि सभी पूर्ण चरणों में दूरी को कवर कर सकें?
  • हमें 63,70 और 77 तक विभाजन संख्या की आवश्यकता है
Word Problems on LCM
637077
791011

LCM = 7 ⚹ 9 ⚹ 10 ⚹ 11 = 6930

एलसीएम और एचसीएफ की गणना में अंतर

LCM vs HCF

12,18, 27 के एलसीएम

Difference in Calculating LCM & HCF
2121827
36927
3239
213

LCM = 2 x 3 x 3 x 2 x 3 = 108

12,18, 27 का एच. सी. एफ.

Difference in Calculating LCM & HCF
3121827
469

HCF = 3

कारक वृक्ष

Factor Tree
  • पत्ती के स्तर पर हमारे पास संख्या 6 के कारक हैं। कारक संख्याएं हैं जो किसी दिए गए संख्या को समान रूप से विभाजित कर सकती हैं।
  • 6 इसके सभी कारकों में से एक है (यह इन सभी नंबरों की तालिका में दिखाई देता है)
  • कारक वृक्षों में से दो इतने दिलचस्प नहीं हैं - वे स्वयं संख्या के आधार पर और 1 सबसे निचले तल पर बनते हैं - यह जारी रह सकता है। अन्य दो अधिक दिलचस्प हैं।

संख्याओं को तोड़ना!

Breaking Numbers

जब 1 और खुद के अलावा अन्य कारकों के संदर्भ में एक संख्या का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, तो हम कहते हैं कि संख्या समग्र है।

क्या हम 3 या 5 को तोड़ सकते हैं

Break 3 or 5

अभाज्य सँख्या

  • 3 और 5 जैसी संख्याएँ जिनमें केवल 1 और स्वयं कारक हैं (बिल्कुल 2 कारक)
  • 1 न तो प्रधान है और न ही समग्र
  • एक अभाज्य संख्या में केवल दो कारक होते हैं: १ और स्वयं। एक मिश्रित संख्या में दो से अधिक कारक होते हैं। संख्या 1 न तो प्रधान है और न ही समग्र - क्योंकि इसमें केवल एक कारक है (1)
Prime Numbers

समग्र संख्या

6 की संख्या की तरह जो 1 और खुद के अलावा अन्य कारक हैं (2 से अधिक कारक)

Composite Numbers

एक मिश्रित संख्या में 2 से अधिक कारक हैं

द फैक्टर गेम: प्राइम नंबर ट्रिक

Factor Game
Prime Number Trick
  • छात्र को जल्दी से पता चलता है कि हमें प्रतिद्वंद्वी को लाभ नहीं पहुंचाते हुए अपने कुल को बड़ा बनाने के लिए एक बड़ी संख्या लेने की आवश्यकता है।
  • एक और तरीका यह होगा कि सबसे बड़ी संभव संख्या को चुना जाए जिसके सभी कारक पहले ही हटा दिए गए हैं

2 संबंध और सम्मिश्र के बीच संबंध

  • अभाज्य संख्याओं के सभी गुणक संयुक्त संख्याएँ हैं।
  • समग्र संख्या को primes के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
Primes and Composites

एराटोस्थनीज की छलनी

Eratosthenes Sieve
  • वह पृथ्वी की परिधि की गणना करने वाले पहले व्यक्ति होने के लिए सबसे अधिक जाना जाता है।
  • वह पृथ्वी की धुरी के झुकाव की गणना करने वाले पहले व्यक्ति थे, एक बार फिर उल्लेखनीय सटीकता के साथ।
  • छलनी समग्र संख्याओं को चिह्नित करके काम करती है- उन्हें छानकर। शीर्ष पर जो बचा है, वह प्रमुख संख्याएं हैं।
  • एक अभाज्य संख्या में केवल दो कारक होते हैं: १ और स्वयं। एक मिश्रित संख्या में दो से अधिक कारक होते हैं। संख्या 1 न तो प्रधान है और न ही समग्र - क्योंकि इसमें केवल एक कारक है (1)
Eratosthenes Sieve
  • एक अभाज्य संख्या में केवल दो कारक होते हैं: १ और स्वयं। एक मिश्रित संख्या में दो से अधिक कारक होते हैं।
  • संख्या 1 न तो प्रधान है और न ही समग्र - क्योंकि इसमें केवल एक कारक (1) है - इसलिए पहले हम 1 हटाते हैं।
Eratosthenes Sieve
Eratosthenes Sieve
  • अब हम नंबर 2 पर जाते हैं।
  • हम जानते हैं कि 2 को छोड़कर 2 में से कोई भी गुणनफल प्रधान नहीं हो सकता- क्योंकि उनका एक कारक 2 है (1 और स्वयं के अतिरिक्त) ।
  • तो, हम 2 के गुणकों से गुजरते हैं और उन्हें कंपोजिट के रूप में चिह्नित करते हैं।

अब हम नंबर 3 पर जाते हैं

Eratosthenes Sieve

1. यदि 3 अब तक देखे गए किसी भी अंक का कारक था, तो इसे रद्द कर दिया गया होगा। लेकिन ऐसा नहीं है 3 के केवल कारक 3 और 1 हैं और इसलिए यह प्रमुख है। इसलिए, यदि हम किसी भी संख्या तक पहुँचते हैं और इसे रद्द नहीं किया गया है तो इसे प्रधान होना है। इसलिए, हम तीन को प्रधान करते हैं।

2. हम 3 से आगे बढ़ते हैं और इसके सभी गुणकों को रद्द कर देते हैं क्योंकि वे प्रधान नहीं हो सकते हैं।

Eratosthenes Sieve
  • नंबर 4 पर नजर डालते हैं। इसे समग्र के रूप में चिह्नित किया गया है क्योंकि इसमें 2 कारक थे। लेकिन इसके गुणकों का क्या?
  • हमें इसके गुणकों पर विचार नहीं करना होगा क्योंकि वे पहले ही रद्द कर दिए गए होंगे क्योंकि वे 4 के कारकों के गुणकों के रूप में होंगे।
  • अब हम 5 को देखते हैं। चूंकि इसे रद्द नहीं किया गया है, इसलिए हम इसे प्रमुख रूप से चिह्नित करते हैं और फिर कंपोजिट के रूप में इसके सभी गुणकों को चिह्नित करते हैं।
  • हमें केवल 10. तक इस प्रक्रिया को करने की आवश्यकता है क्योंकि यदि 10 की संख्या 11 के 10 से अधिक की संख्या थी, तो इसका अन्य कारक 1 और 9.11 ⚹ 10 के बीच होना चाहिए जो कि पहले से 100 से अधिक है।

विशेष प्राइम्स

Special Primes

ट्विन प्राइम्स

  • अंतर 2 है
  • (3,5) , (5,7) , (17,19)

प्रधान ट्रिपल

  • 3 primes जहां सबसे छोटा और सबसे बड़ा 6 से भिन्न होता है
  • (5,7, 11) , (7,11, 13)

2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है जो सम है।

  • 2 को छोड़कर प्रत्येक अभाज्य संख्या विषम है।
  • जुड़वां primes: (3,5) , (5,7) , (11,13) , (17,19)
  • आमतौर पर जोड़ी (2,3) को जुड़वाँ बच्चों की जोड़ी नहीं माना जाता है। चूँकि 2 एकमात्र एकमात्र अभाज्य है, इसलिए यह जोड़ी अभाज्य संख्याओं की एकमात्र जोड़ी है जो एक से भिन्न होती है; इस प्रकार, जुड़वाँ अपराध किसी भी अन्य दो अपराधों के लिए यथासंभव निकटता से होते हैं। 3,5 को छोड़कर सभी जुड़वां प्राइम 6.6 द्वारा विभाज्य हैं। 2 2 जोड़े का सदस्य है
  • प्राइम ट्रिपल्स: प्राइम ट्रिपल तीन प्राइम नंबरों का एक सेट है, जिसमें तीन सबसे छोटे और सबसे बड़े तीन अलग-अलग होते हैं। विशेष रूप से, सेट्स में फॉर्म (p, p + 2, p + 6) या (p, p) होना चाहिए। + 4, पी + 6) । (2,3, 5) और (3,5, 7) के अपवादों के साथ, यह तीन अभाज्य संख्याओं का निकटतम संभव समूह है, क्योंकि प्रत्येक तीन अनुक्रमिक विषम संख्याओं में से एक तीन का गुणज है, और इसलिए अभाज्य नहीं है (इत्यादि) केवल 3 को छोड़कर)
  • Ex: (5,7, 11) , (7,11, 13) , (11,13, 17)

इसमें प्राइम क्विंटुपलेट और प्राइम क्वाड्रुपलेट भी हैं।

क्या एक नंबर प्रधान है?

Prime?
  • यह पता लगाना कि क्या कोई संख्या अभाज्य है, एक कठिन समस्या है- यहां तक कि एक कंप्यूटर के लिए भी- विशेष रूप से जब संख्या बड़ी हो जाती है। आइए देखें कि ऐसा क्यों है- 199. चूँकि 199 का वर्गमूल लगभग 14.1 है, इसलिए हमें केवल 15 तक जाँच करनी होगी।
  • 583 के बारे में क्या? हमें २४ (11 ⚹ 53) तक प्राइम नंबरों की जांच करनी होती है - दो बड़े प्राइम नंबरों के गुणा से एक संख्या बनने पर चीजें विशेष रूप से परेशान करने लगती हैं- यह समस्या कंप्यूटर के लिए भी इतनी कठिन है कि यह कंप्यूटर सुरक्षा का आधार बनती है।
  • यह निर्धारित करने में हमारी मदद करने के लिए कि क्या संख्या परीक्षण और त्रुटि के द्वारा प्रमुख है, हम विभाज्यता परीक्षणों की सहायता का उपयोग कर सकते हैं।

प्रभागीय परीक्षण: अंकों को देखें

2: संख्या सम है

5: संख्या 5 या 0 में समाप्त होती है

10: संख्या 0 में समाप्त होती है

3: अंकों का योग 3 से विभाज्य है

9: अंकों का योग 9 से विभाज्य है

11: विषम अंकों का योग-सम अंकों का 0 या 11 से विभाज्य है

  • 61809 3 से विभाज्य है (राशि 24 है) ()
  • 61809 9 से विभाज्य नहीं है
  • 61809 + 3 = 61812 9 (18) से विभाज्य है ()
  • यदि abcd द्वारा विभाज्य है तब द्वारा विभाज्य है द्वारा विभाज्य है . की प्रत्येक () द्वारा विभाज्य है . यह शेष यदि कोई भी आता है
  • . अभी 11. से विभाज्य हैं इसलिए 11 से विभाज्य होने के लिए abcd को 11 से विभाज्य बनाना होगा।

प्रभागीय परीक्षण: अंतिम अंक

4: अंतिम 2 अंक 4 से विभाज्य हैं

8: अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य हैं

विभाज्यता परीक्षण: संयोजन

  • संख्या 2 सह-प्रधान संख्याओं से विभाज्य है तो यह उनके उत्पाद द्वारा विभाज्य है
  • एक संख्या किसी दिए गए भाजक द्वारा विभाज्य है यदि वह अपने प्रत्येक प्रमुख कारकों की उच्चतम शक्ति से विभाज्य है।
  • यदि कोई संख्या दो सह-प्रधान संख्याओं से विभाज्य है, तो यह उनके उत्पाद द्वारा भी विभाज्य है।
  • उदाहरण के लिए, 18 3 और 2 दोनों से विभाज्य है और इसलिए यह 6 से भी विभाज्य है।
  • इसी तरह, यदि कोई संख्या 9 और 4 दोनों से विभाज्य है तो यह 36 से भी विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 108 (36 ⚹ 3) ।
  • इसी तरह की रेखाओं के साथ एक संख्या किसी दिए गए भाजक द्वारा विभाज्य है यदि यह अपने प्रत्येक प्रमुख कारकों की उच्चतम शक्ति से विभाज्य है। उदाहरण के लिए, 36 से विभाज्यता निर्धारित करने के लिए, 4 और 9 दोनों (वे सहानुभूति हैं) द्वारा विभाज्यता की जांच करें। 12 और 3 द्वारा विभाज्यता की जाँच करना पर्याप्त नहीं है- वे कॉपीप्राइम नहीं हैं (उदाहरण के लिए 24 को 12 और 3 द्वारा विभाजित किया जा सकता है लेकिन 36 से नहीं) । हालाँकि, संख्या 72 दोनों (4 ⚹ 18) और 9 (8) से विभाज्य है और इसलिए 36 से विभाज्य है (36 ⚹ 2) ।
  • यदि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से विभाज्य है, तो यह उस संख्या के प्रत्येक कारक द्वारा विभाज्य है।
  • यदि दो दी गई संख्याएँ एक संख्या से विभाज्य हैं, तो उनका योग और अंतर भी उस संख्या से विभाज्य है।
  • यदि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से विभाज्य है, तो यह उस संख्या के प्रत्येक कारक द्वारा विभाज्य है।
  • उदाहरण के लिए, 12 6 से विभाज्य है इसलिए यह 3 और 2 दोनों से विभाज्य है।
  • यदि दो दी गई संख्याएँ एक संख्या से विभाज्य हैं, तो उनकी संख्या भी उस संख्या से विभाज्य है।
  • उदाहरण के लिए, 6 और 9 दोनों 3 से विभाज्य हैं। इसलिए 9 + 6 = 15 भी 3 (वितरण कानून) द्वारा विभाज्य है
  • यदि दो दी गई संख्याएँ एक संख्या से विभाज्य हैं, तो उनका अंतर भी उस संख्या से विभाज्य है।
  • उदाहरण के लिए, 12 और 20 दोनों 4 से विभाज्य हैं। इसलिए 20 - 12 = 8 भी 4 से विभाजित है (वितरण कानून)

प्रभागीय परीक्षणों का उपयोग

  • खोजें कि क्या कोई संख्या प्रधान है।
  • अभाज्य गुणनखण्ड करो।
  • यह जानें कि संख्या 429 अभाज्य है (3 से विभाज्य) ।
  • 1749 = 1749/3 = 583 (5 + 3 - 8) = 0 (11 से विभाज्य) , 583/11 = 53 का प्रधान गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
  • अन्य संख्याओं के लिए भी विभाजन परीक्षण हैं।

अधिक उन्नत विषय

1. अवशेष प्रमेय।

2. यूक्लिड का विभाजन लेम्मा।

3. अभाज्य संख्याओं का गुणन।

4. उन्नत विभाज्यता परीक्षण।

5. LCM/HCF पर आधारित शेष प्रकार की शब्द समस्याएं।

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